Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=cos⁴x-sin⁴x有下面有五個(gè)命題，其中真命題的序號(hào)是

①②

．①最小正周期是π；    ②向右平移

π

4

可以得到y(tǒng)=sin2x的圖象；③在[0，

π

2

]上是增函數(shù)； ④同一坐標(biāo)系中，和函數(shù)y=x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

分析：把函數(shù)解析式利用平方差公式化簡后，根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的余弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式求出函數(shù)最小正周期，即可對(duì)選項(xiàng)①作出判斷；
利用平移規(guī)律“左加右減”，對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行變形，得到平移后函數(shù)解析式，即可作出判斷；
根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)已知的區(qū)間進(jìn)行判斷，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在此區(qū)間為減函數(shù)，本選項(xiàng)為假命題；
設(shè)出g（x）=f（x）-x，求出導(dǎo)函數(shù)g′（x），根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)g（x）的最小值，即可得到原函數(shù)與y=x圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而作出判斷．

解答：解：f（x）=cos⁴x-sin⁴x
=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）
=cos2x，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，故選項(xiàng)①為真命題；
把f（x）=cos2x向右平移

π

4

后，
其解析式為y=cos2（x-

π

4

）=cos（2x-

π

2

）=cos（

π

2

-2x）=sin2x，故選項(xiàng)②為真命題；
∵0≤2x≤π，即0≤x≤

π

2

時(shí)，余弦函數(shù)cos2x為減函數(shù)，故選項(xiàng)③為假命題；
設(shè)g（x）=cos2x-x，求導(dǎo)得g′（x）=-2sin2x-1，
當(dāng)2x∈[0，π]，即x∈[0，

π

2

]時(shí)，sin2x∈[0，1]，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)減；
當(dāng)2x∈[-π，0]，即x∈[-

π

2

，0]時(shí)，sin2x∈[-1，0]，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)增，
故g（x）的最小值為g（0）=1，同一坐標(biāo)系中，和函數(shù)y=x的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，故選項(xiàng)④為假命題，
則其中真命題的序號(hào)為①②．
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，余弦函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值以及函數(shù)的平移規(guī)律，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．