Question

（本小題滿分14分）
已知f(x)＝x²＋bx＋c為偶函數，曲線y＝f(x)過點(2,5)，g(x)＝(x＋a)f(x)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若曲線y＝g(x)有斜率為0的切線，求實數a的取值范圍；
(3)若當x＝1時，函數y＝g(x)取得極值，確定y＝g(x)的單調區間．

Answer 1

解：(1)∵f(x)為偶函數，∴b＝0.         …………………2分
又f(x)過(2,5)，∴4＋c＝5，得c＝1.
∴f(x)= x²＋1                               …………………4分
(2)又g(x)＝(x＋a)f(x)＝(x＋a)(x²＋1)＝x³＋ax²＋x＋a
由題意得g′(x)＝3x²＋2ax＋1＝0有解，
∴Δ＝4a²－12>0，得a>或a<－.            …………………9分
(3)由(1)知g′(x)＝3x²＋2ax＋1，由題意得g′(1)＝0，得a＝－2，經檢驗當a＝－2時，y＝g(x)取得極值符合題意，由g′(x)＝3x²－4x＋1>0，得x>1或x<，由g′(x)<0，得<x<1，
故g(x)的單調增區間為，(1，＋∞)，單調減區間為.   …………………14分

解析