Question

【題目】設(shè)a，b∈R，關(guān)于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）＝0的四個(gè)實(shí)根構(gòu)成以q為公比的等比數(shù)列，若q∈[，2]，則ab的取值范圍為______．

Answer 1

【答案】.

【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)確定方程的根，由韋達(dá)定理表示出ab，再利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)q的范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)，確定ab的最值即可求出ab的取值范圍．

解：設(shè)方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）＝0的4個(gè)實(shí)數(shù)根依次為m，mq，mq2，mq3，

由等比數(shù)列性質(zhì)，不妨設(shè)m，mq3為x2﹣ax+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則mq，mq2為方程x2﹣bx+1＝0的兩個(gè)根，

由韋達(dá)定理得，m2q3＝1，m+mq3＝a，mq+mq2＝b，則

故ab＝（m+mq3）（mq+mq2）＝m2（1+q3）（q+q2）

（1+q3）（q+q2），

設(shè)t，則t2﹣2，

因?yàn)?/span>q∈[，2]，且t在[，1]上遞減，在（1，2]上遞增，

所以t∈[2，]，

則ab＝t2+t﹣2，

所以當(dāng)t＝2時(shí)，ab取到最小值是4，

當(dāng)t時(shí)，ab取到最大值是，

所以ab的取值范圍是：．