Question

（I）給定數列{c_n}，如果存在實常數p，q，使得c_n+1=pc_n+q對于任意n∈N*都成立，則稱數列{c_n}是“M類數列”．
（i）若an=3•2n，n∈N*，數列{a_n}是否為“M類數列”？若是，指出它對應的實常數p，q，若不是，請說明理由；
（ii）若數列{b_n}的前n項和為Sn=n2+n，證明數列{bn}是“M類數列”．
（Ⅱ）若數列{an}滿足a1=2，an+an+1=2n(n∈N*)，求數列{an}前2013項的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（i）由a_n的表達式即可得出a_n+1的表達式，再利用“M”數列的定義進行判斷即可．
（ii）利用bn=

S1，當n=1時 Sn-Sn-1，當n≥2時

先求出數列{b_n}的通項公式，再利用“M”數列的定義進行判斷即可．
（Ⅱ）根據數列{a_n}滿足的條件：a₁=2，an+an+1=2n，分別令n=2，4，…2012．將以上這些式子相加即可得出S₂₀₁₃．

解答：解：（Ⅰ）（i）∵an=3•2n，n∈N*，
∴an+1=3×2n+1=2×(3×2n)=2×a_n=2a_n+0，
∴p=2，q=0
∴數列{a_n}是“M”數列．
（ii）當n=1時，b1=S1=12+1=2．
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n．
上式對于n=1時也成立，
∴b_n=2n（n∈N^*）．
∴b_n+1=2（n+1）=2n+2=b_n+2．
∴數列{b_n}是“M”數列，且p=1，q=2．
（Ⅱ）∵an+an+1=2n（n∈N^*），∴a2+a3=22，a4+a5=24，…a2012+a2013=22012．
S₂₀₁₃=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃=2+2²+2⁴+…+2²⁰¹²=2+

4×(41006-1)

4-1

=

22014+2

3

．
故數列{a_n}前2013項的和S₂₀₁₃=

22014+2

3

．

點評：理解“M”數列的定義及充分利用已知條件和數列求和的公式與方法是解題的關鍵．