Question

已知點M（0，-1），直線l：y=mx+1與曲線C：ax²+y²=2（m，a∈R）交于A、B兩點．
（1）當m=0時，有∠AOB=

π

3

，求曲線C的方程；
（2）當實數a為何值時，對任意m∈R，都有

OA

•

OB

為定值T？指出T的值；
（3）設動點P滿足

MP

=

OA

+

OB

，當a=-2，m變化時，求點P的軌跡方程；
（4）是否存在常數M，使得對于任意的a∈（0，1），m∈R，都有

OA

•

OB

＜M恒成立？如果存在，求出的M得最小值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線方程為y=1，代入曲線C：ax²+y²=2求得A，B的坐標，利用 ∠AOB=

π

3

可求曲線的方程；
（2）將直線l：y=mx+1與曲線C：ax²+y²=2聯立，化簡得（a+m²）x²+2mx-1=0，假設點A，B的坐標，利用

OA

•

OB

=T是定值，可求a及T；
（3）將條件

MP

=

OA

+

OB

轉化為坐標的形式，從而可表達點P的從而，消去m得點P的軌跡方程；
（4）由（2）知：

OA

•

OB

=

m 2-1

m2+a

+1，求得對于任意的a∈（0，1），m∈R，它的最大值小于2，故取M的值大于2時，都有

OA

•

OB

＜M恒成立，故存在常數M，使得對于任意的a∈（0，1），m∈R，都有

OA

•

OB

＜M恒成立且M得最小值為：2．

解答：解：（1）由題意，直線方程為y=1，代入曲線C：ax²+y²=2可得 A(-

1 a

，1)，B(

1 a

，1)
∵∠AOB=

π

3

，∴tan300 =

1 a

，∴a=3
∴曲線C的方程為3x²+y²=2
（2）將直線l：y=mx+1與曲線C：ax²+y²=2聯立，化簡得（a+m²）x²+2mx-1=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則知 x1+x2=-

2m

m2+a

，x1x2=

-1

m2+a

，
∴x₁x₂+y₁y₂=

-1

m2+a

+（mx₁+1）（mx₂+1）=

m 2-1

m2+a

+1
對任意m∈R，都有

OA

•

OB

=T成立．
得x₁x₂+y₁y₂=T定值，
∴可有a=-1，此時T=2；
（3）由（2）知 x1+x2=

2m

m2-2

，y1+y2=

4m2-4

m2-2

設P（x，y），則（x，y+1）=（x₁+x₂，y₁+y₂）
∴x=-

2m

m2-2

，y=-

m2+2

m2-2

消去m得：（y-2）²-2x²=1，此即為點P的軌跡方程；
（4）由（2）知：

OA

•

OB

=

m 2-1

m2+a

+1，
對于任意的a∈（0，1），m∈R，它的最大值小于2，
故取M的值大于2時，都有

OA

•

OB

＜M恒成立，
故存在常數M，使得對于任意的a∈（0，1），m∈R，都有

OA

•

OB

＜M恒成立，
M得最小值為2．

點評：本題的可得時直線與圓錐曲線的綜合問題，解答關鍵是直線與曲線方程聯立解決位置關系問題，計算量大，有難度．