Question

對任意x∈R，給定區間[k-，k+]（k∈z），設函數f（x）表示實數x與x的給定區間內
整數之差的絕對值．
（1）當時，求出f（x）的解析式；當x∈[k-，k+]（k∈z）時，寫出用絕對值符號表示的f（x）的解析式；
（2）求的值，判斷函數f（x）（x∈R）的奇偶性，并證明你的結論；
（3）當時，求方程的實根．（要求說明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）當x∈[-]時，根據定義，寫出f（x）的解析式；當x∈[k-，k+]（k∈z）時，由定義知：k為與x最近的一個整數，寫出解析式即可；（2）根據（1）求得
即可，利用奇偶性的定義即可判斷函數f（x）（x∈R）的奇偶性，（3）要求方程的根，即求|x-k|-log_ax=0的根，分類討論，去掉絕對值符號，即可求得方程根的個數．
解答：解：（1）當x∈[-]時，
由定義知：x與0距離最近，f（x）=|x|，x∈[-]
當x∈[k-，k+]（k∈z）時，
由定義知：k為與x最近的一個整數，故
f（x）=|x-k|，x∈[k-，k+]（k∈z）；
（2）=，
判斷f（x）是偶函數．
對任何x∈R，函數f（x）都存在，且存在k∈Z，滿足
k-≤x≤k+，f（x）=|x-k|，
由k-≤x≤k+，可以得出-k-≤-x≤-k+，
即-x∈[-k-，-k+]，
由（Ⅰ）的結論，f（-x）=|-x-（-k）|=|k-x|=|x-k|=f（x），
即f（x）是偶函數．
（3）解：，即|x-k|-log_ax=0，
①當x＞1時，|x-k|≥0＞log_ax，
∴|x-k|-log_ax=0沒有大于1的實根；
②容易驗證x=1為方程|x-k|-log_ax=0的實根；
③當時，方程|x-k|-log_ax=0變為1-x-log_ax=0
設H（x）=log_ax-（1-x）（）
則H′（x）=，
所以當時，H（x）為減函數，H（x）＞H（1）=0，
所以方程沒有的實根；
④當時，方程|x-k|-log_ax=0變為x-log_ax=0
設G（x）=log_ax-x（），顯然G（x）為減函數，
∴G（x）≥G（）=H（）＞0，
所以方程沒有的實根．
綜上可知，當時，方程有且僅有一個實根，實根為1．
點評：此題是中檔題．考查新定義求函數的解析式，以及利用函數奇偶性的定義判斷函數的奇偶性，分類討論求方程根的個數問題，體現了分類討論的思想，同時考查了利用應用知識分析解決問題的能力和運算能力．