Question

若關于x的實系數方程x²＋ax＋b＝0有兩個根，一個根在區間(0，1)內，另一根在區間(1，3)內，記點(a，b)對應的區域為S．

(1)設z＝2a－b，求z的取值范圍；

(2)過點(－5，1)的一束光線，射到x軸被反射后經過區域S，求反射光線所在直線l經過區域S內的整點(即橫縱坐標為整數的點)時直線l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：方程x2＋ax＋b＝0的兩根在區間(0，1)和(1，3)上的幾何意義是：函數y＝f(x)＝x2＋ax＋b與x軸的兩個交點的橫坐標分別在區間(0，1)和(1，3)內，由此可得不等式組，即，則在坐標平面aOb內，點(a，b)對應的區域S如圖陰影部分所示，易得圖中A，B，C三點的坐標分別為(－4，3)，(－3，0)，(－1，0)，4分 　　(1)令z＝2a－b，則直線b＝2a－z經過點A時Z取得最小值，經過點C時Z取得最大值，即Zmin＝－11，Zmax＝－2，又A，B，C三點的值沒有取到，所以－11＜z＜－2；8分 　　(2)過點(－5，1)的光線經x軸反射后的光線必過點(－5，－1)，由圖可知可能滿足條件的整點為(－3，1)，(－3，2)，(－2，2)，(－2，1)，再結合不等式知點(－3，1)符合條件，所以此時直線方程為：y＋1＝·(x＋5)，即y＝x＋4；12分