Question

【題目】已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（1）求的值；；

（2）若存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，都有，求整數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）2．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線在點(diǎn)處的切線方程，根據(jù)此方程與重合可得的值；（2））因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，所以存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，都有，等價(jià)于以在上恒成立，設(shè)， ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出與，只需令即可得結(jié)果.

試題解析：（1）時(shí)， ，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

即．

又曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

所以．

（2）因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， ，

那么，

由得，

兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得，

所以在上恒成立，

設(shè)，

則（因?yàn)?/span>）

所以，

設(shè)，易知在上單調(diào)遞減，

所以，

故，

若實(shí)數(shù)存在，必有，又，

所以滿足要求，故所求的最小正整數(shù)為2．