Question

【題目】如圖四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2 ，BC=4 ，PA=2，點M在線段PD上．
（1）求證：AB⊥PC．
（2）若二面角M﹣AC﹣D的大小為45°，求BM與平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設E為BC的中點，連接AE，則AD=EC，AD∥EC，

∴四邊形AECD為平行四邊形，

∴AE⊥BC

∵AE=BE=EC=2 ，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴AB⊥AC，

∵PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，

∴AB⊥PA

∵AC∩PA=A，

∴AB⊥平面PAC，

∴AB⊥PC

（2）解：設AC∩BD=O，連接OP，過點M作MN⊥AD，過點N作NG⊥AC于G，連接MG，則MN∥PA，

由PA⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，

∴MN⊥AC，

∵NG⊥AC，MN∩NG=N，

∴AC⊥平面MNG，

∴AC⊥MG，

∴∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角，即∠MGN=45°

設MN=x，則NG=AG=x，∴AN=ND= x，

可得M為PD的中點，連接PO交BM于H，連接AH，

由（1）AB⊥平面PAC，∴∠BHA是BM與平面PAC所成的角

在△ABM中，AB=4，AM= PD= ，BM=3 ，

∴cos∠ABM= ，

∵∠BHA與∠ABM互余，

∴BM與平面PAC所成的角的正弦值為 ．

【解析】（1）設E為BC的中點，連接AE，證明AB⊥PC，只需證明AB⊥平面PAC，只需證明AB⊥AC，AB⊥PA．（2）設AC∩BD=O，連接OP，過點M作MN⊥AD，過點N作NG⊥AC于G，連接MG，證明∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角，即∠MGN=45°，M為PD的中點，連接PO交BM于H，連接AH，證明∠BHA是BM與平面PAC所成的角，即可求BM與平面PAC所成的角的正弦值．