Question

【題目】已知點，分別是橢圓 的長軸端點、短軸端點，為坐標原點，若，.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）如果斜率為的直線交橢圓于不同的兩點 (都不同于點)，線段的中點為，設線段的垂線的斜率為，試探求與之間的數量關系.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）根據向量的點積公式和投影得到，進而得到橢圓的方程；（2）聯立直線和橢圓得到二次方程，根據韋達定理得到中點坐標，進而得到直線的斜率為，線段的垂線的斜率為.

解析：

（1）因為，

所以，因為，

所以.

所以.

所以所求橢圓的方程為

（2）設直線的方程為（，為常數）.

①當時，直線的方程為，此時線段的中點為在軸上，所以線段的垂線的斜率為0，即；

②當時，聯立消去整理，得.

設點，，線段的屮點，則，

由韋達定理，得，，所以.

所以.

所以.

所以直線的斜率為.

所以線段的垂線的斜率為.故與之間的關系是

綜上，與之間的關系是.