Question

（Ⅰ）①證明兩角和的余弦公式；②由推導兩角和的正弦公式
（Ⅱ）已知△ABC的面積 S=12， •=3，且 cosB=，求cosC．

Answer 1

（1）見解析；（2）－.

本試題主要是考查了三角函數關系式的運用，求解向量的數量積以及解三角形的綜合運用。
解：法一：按教材證明
法二：①如圖，在直角坐標系xOy內做單位圓O，并作出角α、β與-β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點P₁，
終邊交⊙O于P₂；
角β的始邊為OP₂，終邊交⊙O于P₃；角-β的始邊為OP1，終邊交⊙O于P₄．
則P₁（1，0），P₂（cosα，sinα）
P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））
由P₁P₃=P₂P₄及兩點間的距離公式，得
[cos（α+β）-1]²+sin²（α+β）=[cos（-β）-cosα]²+[sin（-β）-sinα]²
展開并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ．（4分）
②由①易得cos（ π/2-α）=sinα，sin（ π/2-α）=cosα
sin（α+β）="cos[" π/2-（α+β）]=cos[（ π/2-α）+（-β）]
=cos（ π/2-α）cos（-β）-sin（ π/2-α）sin（-β）
=sinαcosβ+cosαsinβ（6分）
（2）由題意，設△ABC的角B、C的對邊分別為b、c
則S= bcsinA=            •=bccosA=3＞0
∴A∈（0，π），cosA=3sinA
又sin²A+cos²A=1，∴sinA= ，cosA=
由題意，cosB= ，得sinB=
∴cos（A+B）="cosAcosB-sinAsinB="
故cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）="-" （12分）