Question

【題目】已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）若，當(dāng)時(shí)，試比較與2的大小；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析： 求的導(dǎo)數(shù)，利用判定的單調(diào)性，從而求出的單調(diào)區(qū)間，可比較與的大小；

先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意知是的兩個(gè)根，令，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，繼而得到的取值范圍，知，則，又由， ，即可得到

解析：（1）當(dāng)時(shí)， ，則，令，

由于故，于是在為增函數(shù)，所以，即在恒成立，

從而在為增函數(shù)，故

（2）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則是的兩個(gè)根，即方程有兩個(gè)根，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增且；

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增且；

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增且；

要使方程有兩個(gè)根，只需，如圖所示

故實(shí)數(shù)的取值范圍是

又由上可知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，由得.

由于，故，所以