Question

【題目】已知函數，且.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）在函數的圖象上取定兩點，，記直線的斜率為，問：是否存在，使成立？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）存在，

【解析】

（Ⅰ）討論或，不成立，，則，利用導數與函數單調性的關系可得的最小值，只需即可.

（Ⅱ）由題意可得，令，在區間上單調遞增，求出，結合（Ⅰ）可得，，利用零點存在性定理即可證出.

解：（Ⅰ）若，則對一切，，這與題設矛盾；

若，，令，得.

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增，

故當時，取最小值.

于是對一切，恒成立，當且僅當.①

令，則.

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減.

故當時，取最大值.

因此，當且僅當即時，①式成立.

綜上所述，.

（Ⅱ）由題意知，.

令，在區間上單調遞增；

且，.

由（Ⅰ）得恒成立，

從而，，

又，，

所以，.

由零點存在性定理得，存在唯一，使，且.

綜上所述，存在使成立，且.