Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的極值；

（2）若是函數的兩個極值點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）由題意知，函數的定義域為，對函數進行求導，利用導數判斷函數的單調性并求其極值即可；

（2）對函數進行求導，設，根據函數極值點的定義轉化為有二不等正根，，利用一元二次方程根的分布的相關知識求出的取值范圍，利用韋達定理求出之間的關系，通過作差求出的表達式，設，則，通過構造函數并對其求導判斷單調性求其最值即可求出的取值范圍.

（1）由題意知，函數的定義域為，

因為，

所以可得之間的關系如下表：

				1
		0		0
		極大值		極小值

∴由表中的數據可知，

，.

（2）由題意知，，

設，

因為函數存在兩個極值點，

所以有二不等正根，，

∴，解得，

因為，是方程的兩根，

由韋達定理可得，，，即，

由可得，，

由可得，

∴，

∵，，∴，

設，則，

所以，∴在上單調遞減，

∴，即的取值范圍為.