Question

設f（x）的定義域為{x|x∈R，x≠

k

2

，k∈Z}，且f(x+1)=-

1

f(x)

，f（x）為奇函數，當0＜x＜

1

2

時，f（x）=3^x．
（1）求f(

2013

4

)；
（2）當2k+

1

2

＜x＜2k+1(k∈Z)時，求f（x）的表達式；
（3）是否存在這樣的正整數k，使得當2k+

1

2

＜x＜2k+1(k∈Z)時，關于x的不等式log3f(x)＞x2-kx-2k有解？

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由f(x+1)=-

1

f(x)

，可得f（x）的周期為T=2，從而得到f(

2013

4

)=f(502+

5

4

)=f(

5

4

)=f(1+

1

4

)=-

1

f( 1 4 )

=-3-

1

4

．
（Ⅱ）當2k+

1

2

＜x＜2k+1(k∈Z)時，可得 0＜2k+1-x＜

1

2

，f（2k+1-x）=3^2k+1-x．再由已知條件求得f（x）的解析式．
（Ⅲ）假設存在這樣的正整數k，問題等價于 x²-（k+1）x+1＜0有解，故△=k²+2k-3=（k-1）（k+3）＞0，分k=1和k＞1兩種情況進行研究，可得不存這樣的正整數k．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x+1)=-

1

f(x)

，∴f(x+2)=-

1

f(x+1)

=f(x)，∴f（x）的周期為T=2．…（2分）
故 f(

2013

4

)=f(502+

5

4

)=f(

5

4

)=f(1+

1

4

)=-

1

f( 1 4 )

=-3-

1

4

．…（5分）
（Ⅱ）當2k+

1

2

＜x＜2k+1(k∈Z)時，有

1

2

＜x-2k＜1，∴0＜2k+1-x＜

1

2

，∴f（2k+1-x）=3^2k+1-x．
又∵f(2k+1-x)=f(1-x)=-

1

f(-x)

=

1

f(x)

，∴f（x）=3^x-2k-1（k∈Z）．…（10分）
（Ⅲ）假設存在這樣的正整數k，由（Ⅱ）得log3f(x)＞x2-kx-2k，等價于x-2k-1＞x²-kx-2k，
即x²-（k+1）x+1＜0有解，∵△=k²+2k-3=（k-1）（k+3）＞0．
①若k=1時，則△=0，x²-（k+1）x+1＜0無解．
②若k＞1且k∈Z時，x²-（k+1）x+1＜0的解為

k+1- k2+2k-3 2 ＜x＜ k+1+ k2+2k-3 2 ＜k+1 2k+ 1 2 ＜x＜2k+1

，∴x∈∅．
故不存這樣的正整數k．…（14分）

點評：本題主要考查函數的周期性、求函數的值、對數不等式和一元二次不等式的解法，屬于中檔題．