Question

已知向量

p

=（sinx，cosx+sinx），

q

=（2cosx，cosx-sinx），x∈R，設函數f（x）=

p

•

q

．
（I）求f(

π

3

)的值及函數f（x）的最大值；
（II）求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

p

=（sinx，cosx+sinx），

q

=（2cosx，cosx-sinx），x∈R，函數f（x）=

p

•

q

．我們根據平面向量數量積的運算法則，我們易求出函數f（x）的解析式，再結合正弦型函數的性質，我們即可求出求f(

π

3

)的值及函數f（x）的最大值；
（2）由（1）所得的f（x）的解析式，我們結合三角函數求值域的方法，構造關于相位ωx+φ的不等式組，求出滿足條件的自變量的取值范圍，即可得到函數f（x）的單調遞增區間．

解答：解：（I）∵

p

=（sinx，cosx+sinx），

q

=（2cosx，cosx-sinx），
∴f（x）=

p

•

q

=（sinx，cosx+sinx）•（2cosx，cosx-sinx）
=2sinxcosx+cos²x-sin²x
=sin2x+cos2x
=

2

sin(2x+

π

4

)
∴f(

π

3

)=

3 -1

2

∴函數f（x）的最大值為

2

．
當且僅當x=

π

8

+kπ（k∈Z）時
函數f（x）取得最大值為

2

．
（II）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z）．
∴函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）

點評：函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數的周期與最值一般是要將其函數的解析式化為正弦型函數，再根據最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

2π

ω

進行求解．