Question

【題目】已知函數，若在定義域內存在，使得成立，則稱為函數的局部對稱點.

（1）證明：函數在區間內必有局部對稱點；

（2）若函數在R上有局部對稱點，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）設，可求出的解為，從而可知當時，成立，即可證明函數在區間內必有局部對稱點；

（2）由題意知在R上有解，令，則在上有解，結合二次函數零點的分布，分別討論方程在上根的個數，得到關于的不等式，從而可求出實數m的取值范圍.

證明：（1）設，則，令，則，

解得，即當時，，即成立，

即函數在區間內必有局部對稱點

解：（2），則在R上有解.

即在R上有解，

于是（*）在R上有解.

令，則，所以方程（*）變為，

設，則，

由，在上單調遞增知，，，，

即此時，所以函數在上單調遞減；

設，則，

由，在上單調遞增知，，，，

即此時，所以函數在上單調遞增；

故，從而已知即在上有解.

設（），分為兩種情況：

①當方程有在唯一解時：

則或，

解得，；解得，，

則；

②當方程在有兩個解時：.

綜上得.