Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)是關(guān)于x的不等式x²-x＜（2n-1）x （n∈N^*）的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）設(shè)m，k，p∈N^*，m+p=2k，求證：

1

Sm

+

1

Sp

≥

2

Sk

；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中的命題，對(duì)一般的各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論，如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)是關(guān)于x的不等式的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)，題目首先應(yīng)該解不等式，從不等式的解集中得到整數(shù)的個(gè)數(shù)，得到數(shù)列的通項(xiàng)，用等差數(shù)列的定義來(lái)驗(yàn)證．
（2）根據(jù)前面結(jié)果寫(xiě)出要用的前幾項(xiàng)的和，從不等式的一側(cè)入手，利用均值不等式得到要求的結(jié)論．
（3）本題是對(duì)上一問(wèn)的延伸，方法和前面的類(lèi)似，但題目所給的一般的各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列在整理時(shí)增加了難度，題目絕大部分工作是算式的整理，注意不能出錯(cuò)．

解答：解：（1）不等式x²-x＜（2n-1）x 即x（x-2n）＜0，解得：0＜x＜2n，其中整數(shù)有2n-1個(gè)，
故 a_n=2n-1．
（2）由（1）知Sn=

n(1+2n-1)

2

=n2，∴S_m=m²，S_p=p²，S_k=k²．
由

1

Sm

+

1

Sp

-

2

Sk

=

1

m2

+

1

p2

-

2

k2

=

k2(m2+p2)-2m2p2

m2p2k2

=

( m+p 2 )2(m2+p2)-2m2p2

m2p2k2

≥

2mp•mp-2m2p2

m2p2k2

=0，
即

1

Sm

+

1

Sp

≥

2

Sk

．   
（3）結(jié)論成立，證明如下：
設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，則Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

n(a1+an)

2

，
∵Sm+Sp-2Sk=ma1+

m(m-1)

2

d+pa1+

p(p-1)

2

d-[2ka1+k(k-1)d]=(m+p)a1+

m2+p2-(m+p)

2

d-[2ka1+(k2-k)d]，
把m+p=2k代入上式化簡(jiǎn)得S_m+S_p-2S_k=

m2+p2-2×( m+p 2 )2

2

•d=

(m-p)2d

4

≥0，…16分．
∴S_m+S_p≥2S_k．
又 S_m•S_p =

mp(a1+am)(a1+ap)

4

=

mp[  a12+2 a1 (am+ap)+amap]

4

 
≤

( m+p 2 )2[a12+2a1ak+( am+ak 2 )2]

4

=

k2(a1+ak)2

4

=(

sk

2

)2．
∴

1

Sm

+

1

Sp

=

sm+sk

smsp

≥

2sk

( sk 2 )2

=

2

sk

，故

1

Sm

+

1

Sp

≥

2

Sk

 成立．

點(diǎn)評(píng)：本題沒(méi)有具體的數(shù)字運(yùn)算但運(yùn)算量非常大，它考查的是等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，基本不等式，實(shí)際上這類(lèi)問(wèn)題比具體的數(shù)字運(yùn)算要困難，是幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)的綜合問(wèn)題，屬于中檔題．