Question

【題目】某地要建造一個邊長為2（單位：）的正方形市民休閑公園，將其中的區域開挖成一個池塘，如圖建立平面直角坐標系后，點的坐標為，曲線是函數圖像的一部分，過邊上一點在區域內作一次函數（）的圖像，與線段交于點（點不與點重合），且線段與曲線有且只有一個公共點，四邊形為綠化風景區.

（1）求證：；

（2）設點的橫坐標為，

①用表示、兩點的坐標；

②將四邊形的面積表示成關于的函數，并求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）①M（，0），N（，2）②S＝4﹣（t），其中0＜t＜1，S的最大值是4．

【解析】

（1）根據函數y＝ax2過點D，求出解析式y＝2x2；

由消去y，利用△＝0證明結論成立；

（2）①寫出點P的坐標（t，2t2），代入直線MN的方程，用t表示出直線方程，

利用直線方程求出M、N的坐標；

②將四邊形MABN的面積S表示成關于t的函數S（t），

利用基本不等式即可求出S的最大值．

（1）函數y＝ax2過點D（1，2），

代入計算得a＝2，

∴y＝2x2；

由，消去y得2x2﹣kx﹣b＝0，

由線段MN與曲線OD有且只有一個公共點P，

得△＝（﹣k）2﹣4×2×b＝0，

解得b；

（2）設點P的橫坐標為t，則0＜t＜1，

∴點P（t，2t2）；

①直線MN的方程為y＝kx+b，

即y＝kx過點P，

∴kt2t2，

解得k＝4t；

y＝4tx﹣2t2

令y＝0，解得x，∴M（，0）；

令y＝2，解得x，∴N（，2）；

②將四邊形MABN的面積S表示成關于t的函數為

S＝S（t）＝2×22×[（）]＝4﹣（t），其中0＜t＜1；

由t2，當且僅當t，即t時“＝”成立，

所以S≤4；即S的最大值是4．