Question

【題目】如圖，底面ABCD是邊長為2的菱形，，平面ABCD，，，BE與平面ABCD所成的角為.

（1）求證：平面平面BDE；

（2）求二面角B-EF-D的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）要證明平面平面BDE，只需在平面內找一條直線垂直平面BDE即可；

（2）以O為坐標原點，OA，OB，OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系，分別求出平面BEF的法向量，平面的法向量，算出即可.

（1）∵平面ABCD，平面ABCD.

∴.

又∵底面ABCD是菱形，∴.

∵，∴平面BDE，

設AC，BD交于O，取BE的中點G，連FG，OG，

，，四邊形OCFG是平行四邊形

，平面BDE

∴平面BDE，

又因平面BEF，

∴平面平面BDE.

（2）以O為坐標原點，OA，OB，OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系

∵BE與平面ABCD所成的角為，

，

，，，，.

，

設平面BEF的法向量為，，

，

設平面的法向量

設二面角的大小為.

.