Question

【題目】已知函數，曲線在點處的切線方程為.

（1）求，的值；

（2）證明函數存在唯一的極大值點，且.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）求導，可得（1），（1），結合已知切線方程即可求得，的值；

（2）利用導數可得，，再構造新函數，利用導數求其最值即可得證．

（1）函數的定義域為，，

則（1），（1），

故曲線在點，（1）處的切線方程為，

又曲線在點，（1）處的切線方程為，

，；

（2）證明：由（1）知，，則，

令，則，易知在單調遞減，

又，（1），

故存在，使得，

且當時，，單調遞增，當，時，，單調遞減，

由于，（1），（2），

故存在，使得，

且當時，，，單調遞增，當，時，，，單調遞減，

故函數存在唯一的極大值點，且，即，

則，

令，則，

故在上單調遞增，

由于，故（2），即，

．