Question

【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)不同于橢圓的右頂點(diǎn)），證明：直線過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)在第一象限，由弦長(zhǎng)可得，代入，再結(jié)合可解得；

（2）只要設(shè)出直線方程：，把代入橢圓方程可解得M點(diǎn)坐標(biāo)，同理可解得N點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)求出直線MN的方程（注意分類(lèi)討論MN與垂直和不垂直兩種情形），通過(guò)直線方程可觀察出直線所過(guò)定點(diǎn)．

詳解：（1）根據(jù)題意，設(shè)直線與題意交于兩點(diǎn).不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，又長(zhǎng)為，

∴，∴，可得，

又，

∴，故題意的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

（2）顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)，

由得，∴，

同理可得

當(dāng)時(shí)，，所以直線的方程為

整理得，所以直線

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線也過(guò)點(diǎn)

所以直線過(guò)定點(diǎn).