Question

【題目】已知數列{an}中，a1＝1，an＞0，前n項和為Sn，若（n∈N*，且n≥2）．

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）記，求數列{cn}的前n項和Tn．

Answer 1

【答案】(1) an＝2n﹣1；(2) Tn．

【解析】

（1）根據題意，有an＝Sn﹣Sn﹣1，結合分析可得1，則數列{}是以1為首項，公差為1的等差數列，由等差數列的通項公式可得1+（n﹣1）＝n，則Sn＝n2，據此分析可得答案；

（2）由（1）的結論可得cn＝（2n﹣1）×22n﹣1；進而可得Tn＝1×2+3×23+5×25+……+（2n﹣1）×22n﹣1，由錯位相減法分析可得答案．

（1）數列{an}中，an＝Sn﹣Sn﹣1，（n∈N*，且n≥2）①

，（n∈N*，且n≥2）②

①÷②可得：1，

則數列{}是以1為首項，公差為1的等差數列，

則1+（n﹣1）＝n，

則Sn＝n2，

當n＝1時，a1＝S1＝1，

當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，

a1＝1也符合該式，

則an＝2n﹣1；

（2）有（1）的結論，an＝2n﹣1，

則cn＝（2n﹣1）×22n﹣1；

則Tn＝1×2+3×23+5×25+……+（2n﹣1）×22n﹣1，③；

則4Tn＝1×23+3×25+5×27+……+（2n﹣1）×22n+1，④；

③﹣④可得：﹣3Tn＝2+2（23+25+……+22n﹣1）﹣（2n﹣1）×22n+1（2n）×22n+1，

變形可得：Tn．