Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2．

（Ⅰ）求證：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；
（Ⅲ）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為 ，求線段AH的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)F，連接MF、NF，

∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，∴MF∥BD，
∵BD平面BDE，MF平面BDE，∴MF∥平面BDE．
∵N為BC中點(diǎn)，∴NF∥AC，
又D、E分別為AP、PC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，則NF∥DE．
∵DE平面BDE，NF平面BDE，∴NF∥平面BDE．
又MF∩NF=F．
∴平面MFN∥平面BDE，則MN∥平面BDE；
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．
∴以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
∵PA=AC=4，AB=2，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），
則 ， ，
設(shè)平面MEN的一個(gè)法向量為 ，
由 ，得 ，取z=2，得 ．
由圖可得平面CME的一個(gè)法向量為 ．
∴cos＜ ＞= ．
∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值為 ，則正弦值為 ；
（Ⅲ）解：設(shè)AH=t，則H（0，0，t）， ， ．
∵直線NH與直線BE所成角的余弦值為 ，
∴|cos＜ ＞|=| |=| |= ．
解得：t=4．
∴當(dāng)H與P重合時(shí)直線NH與直線BE所成角的余弦值為 ，此時(shí)線段AH的長為4．
【解析】（Ⅰ）取AB中點(diǎn)F，連接MF、NF，由已知可證MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，則MN∥平面BDE；
（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面MEN與平面CME的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，進(jìn)一步求得正弦值；
（Ⅲ）設(shè)AH=t，則H（0，0，t），求出 的坐標(biāo)，結(jié)合直線NH與直線BE所成角的余弦值為 列式求得線段AH的長．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關(guān)知識(shí)，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，以及對(duì)平面與平面平行的判定的理解，了解判斷兩平面平行的方法有三種:用定義；判定定理；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．