Question

設等比數列{a_n}的公比為q，前n項和為S_n，若S_n+1，S_n，S_n+2成等差數列，則q的值為

 

．

Answer 1

分析：首先由S_n+1，S_n，S_n+2成等差數列，可得2S_n=S_n+1+S_n+2，然后利用等比數列的求和公式分別表示S_n+1，S_n，S_n+2，注意分q=1和q≠1兩種情況討論，解方程即可．

解答：解：設等比數列{a_n}的公比為q，前n項和為S_n，且S_n+1，S_n，S_n+2成等差數列，則2S_n=S_n+1+S_n+2，
若q=1，則S_n=na₁，式顯然不成立，
若q≠1，則為2

a1(1-qn)

1-q

=

a1(1-qn+1)

1-q

+

a1(1-qn+2)

1-q

，
故2qⁿ=qⁿ⁺¹+qⁿ⁺²，
即q²+q-2=0，
因此q=-2．
故答案為-2．

點評：涉及等比數列求和時，若公比為字母，則需要分類討論．