Question

【題目】已知兩點分別在軸和軸上運動，且，若動點滿足.

（1）求出動點的軌跡的標準方程；

（2）設動直線與曲線有且僅有一個公共點，與圓相交于兩點（兩點均不在坐標軸上），求直線的斜率之積.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）計算得到，根據，計算得到答案.

（2）討論直線的斜率存在和直線的斜率不存在兩種情況，計算得到答案.

（1）因為，即

所以，所以

又因為，所以，即，即.

所以曲線的標準方程為.

（2）當直線的斜率存在時，設的方程為.

由方程組得.

∵直線與橢圓有且僅有一個公共點，

∴，即.

由方程組得，

則.

設，則，

設直線的斜率分別為，

所以

，

將代入上式，得.

當直線的斜率不存在時，由題意知的方程為.

此時，圓與的交點也滿足.

綜上，直線的斜率之積為定值.