Question

【題目】如圖，直角中， ， ， 分別是邊的中點，沿將折起至，且.

（1）求四棱錐的體積；

（2）求證：平面⊥平面．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）由分別是邊的中點，推出平行且等于的一半，則，即可證明平面，從而可證平面，過點作于，可推出平面，從而可求出四棱錐的體積；（2）法一：設線段的中點分別為，連接，則，即可推出是平行四邊形，再根據及，推出是等邊三角形，結合（1），可推出，從而可證平面⊥平面；法二：連接，易證△是邊長為2等邊三角形，根據，推出，從而推出，根據∥，可推出，可證，從而可證平面⊥平面.

試題解析：（1）∵分別是邊的中點，

∴平行且等于的一半，

依題意， .

于是有平面.

∵平面

∴平面

過點作于，則，

∵

∴

∴梯形的面積

∴四棱錐的體積

（2）（法一）如圖．設線段的中點分別為，連接，則，于是.

又是等邊三角形.

∴EQ⊥FC

由（1）知.

∴

∴

于是.

∴

又∵

∴平面⊥平面.

（法二）連接，∵

∴△是邊長為2等邊三角形

∵

∴

∴，

又∵∥

∴

∵

∴

又∵，

∴

又∵，

∴平面⊥平面.