Question

（2012•香洲區模擬）如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=4，BC=4，BB₁=3，M、N分別是B₁C₁和AC的中點．
（1）求異面直線AB₁與C₁N所成的角；
（2）求三棱錐M-C₁CN的體積．

Answer 1

分析：（1）過A作AQ∥C₁N，交A₁C₁于Q，連接B₁Q，可得∠B₁AQ（或其補角）是異面直線AB₁與C₁N所成角．在△B₁AQ中，分別求出AB₁、AQ和B₁Q的長，結合余弦定理算出cos∠B₁AQ的值，從而得到異面直線AB₁與C₁N所成的角是arccos

17

5

；
（2）平面A₁B₁C₁中，過M作MH⊥A₁C₁于H．根據直三棱柱的性質結合面面垂直的性質定理，得到MH⊥平面AA₁C₁C，MH是三棱錐M-C₁CN的高．算出MH的長和△C₁CN的面積，結合三棱錐的體積公式，可得三棱錐M-C₁CN的體積．

解答：解：（1）平面AA₁C₁C中，過A作AQ∥C₁N，交A₁C₁于Q，連接B₁Q
∴∠B₁AQ（或其補角）就是異面直線AB₁與C₁N所成的角
矩形AA₁C₁C中，N是AC中點，可得Q是A₁C₁中點
Rt△AA₁B₁中，AB₁=

AA12+A1B12

=5，同理可得AQ=

17

∵等腰Rt△A₁B₁C₁中，B₁Q是斜邊的中線
∴B₁Q=

2

2

A₁B₁=2

2

，
△B₁AQ中，cos∠B₁AQ=

25+17-8

2×5× 17

=

17

5

＞0
∴∠B₁AQ=arccos

17

5

，即異面直線AB₁與C₁N所成的角等于arccos

17

5

；
（2）平面A₁B₁C₁中，過M作MH⊥A₁C₁于H
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面A₁B₁C₁，CC₁⊆平面AA₁C₁C
∴平面AA₁C₁C⊥平面A₁B₁C₁，
∵平面AA₁C₁C⊥平面A₁B₁C₁=A₁C₁，MH⊥A₁C₁，
∴MH⊥平面AA₁C₁C，MH是三棱錐M-C₁CN的高線
∵△B₁C₁Q中，M是B₁C₁中點，MH∥B₁Q
∴MH是△B₁C₁Q的中位線，得MH=

1

2

B₁Q=

2

∵△C₁CN的面積S=

1

2

CN×C₁C=

1

2

×2

2

×3=3

2

∴三棱錐M-C₁CN的體積V_M-C1CN=

1

3

S_C1CN×MH=

1

3

×3

2

×

2

=2

點評：本題給出特殊三棱柱，求異面直線所成角并求錐體的體積，著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質，異面直線所成角的求法和錐體體積公式等知識，屬于基礎題．