Question

已知橢圓

x2

25

+

y2

9

=1與雙曲線

x2

9

-

y2

7

=1在第一象限內的交點為P，則點P到橢圓右焦點的距離等于

2

．

Answer 1

分析：先由橢圓

x2

25

+

y2

9

=1與雙曲線

x2

9

-

y2

7

=1的方程得出它們有共同的焦點F₁、F₂，再根據點P為橢圓和雙曲線的一個交點結合定義求出|PF₁|與|PF₂|的表達式，代入即可求出|PF₂|的值．

解答：解：因為橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點（±4，0），與雙曲線

x2

9

-

y2

7

=1的焦點（±4，0），
∴橢圓

x2

25

+

y2

9

=1與雙曲線

x2

9

-

y2

7

=1有共同的焦點F₁、F₂，
設左右焦點F₁、F₂：
利用橢圓以及雙曲線的定義可得：|PF₁|+|PF₂|=2×5 ①
|PF₁|-|PF₂|=2×3 ②
由①②得：|PF₁|=8，|PF₂|=2．
則點P到橢圓右焦點的距離等于 2．
故答案為：2．

點評：本題主要考查圓錐曲線的綜合問題．解決本題的關鍵在于根據橢圓

x2

25

+

y2

9

=1與雙曲線

x2

9

-

y2

7

=1的方程得出它們有共同的焦點F₁、F₂，屬中檔題．