Question

（2012•鹽城一模）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，因制作一個(gè)工藝品的需要，某小組設(shè)計(jì)了如圖所示的一個(gè)門（該圖為軸對(duì)稱圖形），其中矩形ABCD的三邊AB、BC、CD由長6分米的材料彎折而成，BC邊的長為2t分米（1≤t≤

3

2

）；曲線AOD擬從以下兩種曲線中選擇一種：曲線C₁是一段余弦曲線（在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其解析式為y=cosx-1），此時(shí)記門的最高點(diǎn)O到BC邊的距離為h₁（t）；曲線C₂是一段拋物線，其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

9

8

，此時(shí)記門的最高點(diǎn)O到BC邊的距離為h₂（t）．
（1）試分別求出函數(shù)h₁（t）、h₂（t）的表達(dá)式；
（2）要使得點(diǎn)O到BC邊的距離最大，應(yīng)選用哪一種曲線？此時(shí)，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）對(duì)于曲線C₁，計(jì)算點(diǎn)O到AD的距離為1-cost，AB=DC=3-t，可得函數(shù)h₁（t）的表達(dá)式；對(duì)于曲線C₂，點(diǎn)O到AD的距離為

4

9

t2，AB=DC=3-t，可得函數(shù)h₂（t）的表達(dá)式；
（2）可判斷h₁（t）在[1，

3

2

]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=1時(shí)，h₁（t）取得最大值為3-cos1；可判斷函數(shù)h₂（t），當(dāng)t=

3

2

時(shí)，h₂（t）取得最大值為

5

2

，比較它們的大小，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）對(duì)于曲線C₁，因?yàn)榍�線AOD的解析式為y=cosx-1，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t，cost-1）…（2分）
所以點(diǎn)O到AD的距離為1-cost，而AB=DC=3-t，
則h1(t)=(3-t)+(1-cost)=-t-cost+4(1≤t≤

3

2

)…（4分）
對(duì)于曲線C₂，因?yàn)閽佄锞�的方程為x2=-

9

4

y，即y=-

4

9

x2，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t，-

4

9

t2)…（2分）
所以點(diǎn)O到AD的距離為

4

9

t2，而AB=DC=3-t，
所以h2(t)=

4

9

t2-t+3(1≤t≤

3

2

)…（7分）
（2）因?yàn)?span id="qf3qprz" class="MathJye">h1′(t)=-1+sint＜0，
所以h₁（t）在[1，

3

2

]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=1時(shí)，h₁（t）取得最大值為3-cos1…（9分）
又h2(t)=

4

9

(t-

9

8

)2+

39

16

，而1≤t≤

3

2

，
所以當(dāng)t=

3

2

時(shí)，h₂（t）取得最大值為

5

2

…（11分）
因?yàn)?span id="m2bewgm" class="MathJye">cos1＞cos

π

3

=

1

2

，
所以3-cos1＜3-

1

2

=

5

2

，
故選用曲線C₂，當(dāng)t=

3

2

時(shí)，點(diǎn)E到BC邊的距離最大，最大值為

5

2

分米…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)模型，考查函數(shù)最值的求解，有綜合性．