Question

設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程有實數根；②函數的導數滿足.”

   （I）判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由；

   （II）集合M中的元素具有下面的性質：若的定義域為D，則對于任意

[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，

試用這一性質證明：方程只有一個實數根；

   （III）設是方程的實數根，求證：對于定義域中任意的.

Answer 1

（1）函數是集合M中的元素  （2）證明見解析

（3）證明見解析

解析:

（1）因為，…………2分 

    所以滿足條件………………3分

    又因為當時，，所以方程有實數根0.

    所以函數是集合M中的元素.…………4分

     （2）假設方程存在兩個實數根），

    則，………5分  不妨設，根據題意存在數

    使得等式成立，……………………7分

    因為，所以，

    與已知矛盾，所以方程只有一個實數根；…………9分

    （3）不妨設，因為所以為增函數，所以，

    又因為，所以函數為減函數，………………10分

    所以，…………11分

    所以，即…………12分

    所以

…………13分