Question

在平面直角坐標系中，已知O為坐標原點，點A的坐標為（a，b），點B的坐標為（cosωx，sinωx），其中a²+b²≠0且ω＞0．設f(x)=

OA

•

OB

．
（1）若a=

3

，b=1，ω=2，求方程f（x）=1在區間[0，2π]內的解集；
（2）若點A是過點（-1，1）且法向量為

n

=(-1，1)的直線l上的動點．當x∈R時，設函數f（x）的值域為集合M，不等式x²+mx＜0的解集為集合P．若P⊆M恒成立，求實數m的最大值；
（3）根據本題條件我們可以知道，函數f（x）的性質取決于變量a、b和ω的值．當x∈R時，試寫出一個條件，使得函數f（x）滿足“圖象關于點(

π

3

，0)對稱，且在x=

π

6

處f（x）取得最小值”．

Answer 1

分析：（1）根據向量數量積的定義表示出函數f（x）的解析式將a=

3

，b=1，ω=2代入后化簡，再令f（x）=1解出x的值即可．
（2）先寫出直線l的方程，得到a與b的關系代入f（x）求出函數f（x）的值域M，解出集合P后令P⊆M恒成立即可．
（3）根據三角函數的對稱性對b分大于0和小于0兩種情況進行分析．

解答：解：（1）由題意f(x)=

OA

•

OB

=bsinωx+acosωx，
當a=

3

，b=1，ω=2時，f(x)=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)=1，?sin(2x+

π

3

)=

1

2

，
則有2x+

π

3

=2kπ+

π

6

或2x+

π

3

=2kπ+

5π

6

，k∈Z．
即x=kπ-

π

12

或x=kπ+

π

4

，k∈Z．
又因為x∈[0，2π]，故f（x）=1在[0，2π]內的解集為{

π

4

，

11π

12

，

5π

4

，

23π

12

}．
（2）由題意，l的方程為-（x+1）+（y-1）=0?y=x+2．A在該直線上，故b=a+2．
因此，f(x)=(a+2)sinωx+acosωx=

(a+2)2+a2

sin(ωx+φ)，
所以，f（x）的值域M=[-

(a+2)2+a2

，

(a+2)2+a2

]．
又x²+mx=0的解為0和-m，故要使P⊆M恒成立，
只需-m∈[-

(a+2)2+a2

，

(a+2)2+a2

]，而

(a+2)2+a2

=

2(a+1)2+2

≥

2

即-

2

≤m≤

2

，所以m的最大值

2

．
（3）因為f(x)=

OA

•

OB

=bsinωx+acosωx=

a2+b2

sin(ωx+φ)，
設周期T=

2π

ω

．
由于函數f（x）須滿足“圖象關于點(

π

3

，0)對稱，
且在x=

π

6

處f（x）取得最小值”．
因此，根據三角函數的圖象特征可知，

π

3

-

π

6

=

T

4

+

n

2

•T?

π

6

=

2π

ω

(

2n+1

4

)?ω=6n+3，n∈N．
又因為，形如f(x)=

a2+b2

sin(ωx+φ)的函數的圖象的對稱中心都是f（x）的零點，故需滿足sin(

π

3

ω+φ)=0，
而當ω=6n+3，n∈N時，
因為

π

3

(6n+3)+φ=2nπ+π+φ，n∈N；
所以當且僅當φ=kπ，k∈Z時，f（x）的圖象關于點(

π

3

，0)對稱；
此時，

sinφ= a a2+b2 =0 cosφ= b a2+b2 =±1

?a=0，

b

|b|

=±1．
（i）當b＞0，a=0時，f（x）=sinωx，進一步要使x=

π

6

處f（x）取得最小值，
則有f(

π

6

)=sin(

π

6

•ω)=-1?

π

6

•ω=2kπ-

π

2

?ω=12k-3，k∈Z；
又ω＞0，則有ω=12k-3，k∈N^*；因此，由
ω=6n+3，n∈N^×
ω=12k-3，n∈N^*
可得ω=12m+9，m∈N；
（ii）當b＜0，a=0時，f（x）=-sinωx，進一步要使x=

π

6

處f（x）取得最小值，
則有f(

π

6

)=-sin(

π

6

•ω)=-1?

π

6

•ω=2kπ+

π

2

?ω=12k+3，k∈Z；
又ω＞0，則有ω=12k+3，k∈N；因此，由
ω=6n+3，n∈N^×
ω=12k-3，n∈N^*
可得ω=12m+3，m∈N；
綜上，使得函數f（x）滿足“圖象關于點(

π

3

，0)對稱，
且在x=

π

6

處f（x）取得最小值”的充要條件是：
“當b＞0，a=0時，ω=12m+9（m∈N）或當b＜0，a=0時，ω=12m+3（m∈N）”．

點評：本題主要考查向量的數量積運算和三角函數的兩角和與差的正弦公式的應用．屬難題．平時要注意基礎知識的掌握遇到難題時方能迎刃而解．