Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，D、E分別為AC、AA₁的中點．點F為
棱AB上的點．
（Ⅰ）當點F為AB的中點時．
（1）求證：EF⊥AC₁；
（2）求點B₁到平面DEF的距離．
（Ⅱ）若二面角A-DF-E的大小為

π

4

，求

AF

FB

的值．

Answer 1

分析：（I）（1）由DF∥BC，BC⊥AC，知DF⊥AC，由平面ACC₁A₁⊥平面ABC，知DF⊥平面ACC₁A₁，由DF⊥AC₁，ACC₁A₁是正方形，知AC₁⊥DE，由此能夠證明EF⊥AC₁．
（2）由B₁C₁∥BC，BC∥DF，知B₁C₁∥平面DEF，故點B₁到平面DEF的距離等于點C₁到平面DEF的距離，所以DF⊥平面ACC₁A₁，平面DEF⊥平面ACC₁A₁．設AC₁∩DE=O，則C₁O就是點C₁到平面DEF的距離，由此能求出點B₁到平面DEF的距離．
（Ⅱ）當點F為AB的中點，即

AF

FB

=1時，DF∥BC，故DF⊥AC，由AA1⊥面ABC，知ED⊥DF，故∠EDA即為二面角A-DF-E的平面角，由AE=AD，因此∠EDA=

π

4

．故二面角A-DF-E的大小為

π

4

時，

AF

FB

=1．

解答：解：（I）（1）∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴DF⊥AC，
∵平面ACC₁A₁⊥平面ABC，
∴DF⊥平面ACC₁A₁，
∴DF⊥AC₁，
∵ACC₁A₁是正方形，
∴AC₁⊥DE，
∴AC₁⊥面DEF，
∴AC₁⊥EF，即EF⊥AC₁．
（2）∵B₁C₁∥BC，BC∥DF，
∴B₁C₁∥平面DEF，
∴點在B₁到平面DEF的距離等于點C₁到平面DEF的距離，
∴DF⊥平面ACC₁A₁，
∴平面DEF⊥平面ACC₁A₁，
∵AC₁⊥DE，
∴AC₁⊥平面DEF，
設AC₁∩DE=O，
則C₁O就是點C₁到平面DEF的距離．
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，
∴AA₁C₁C是邊長為2的正方形，
∴AC1=

22+22

=2

2

，
連接A₁C，交AC₁于O₁，
則AO₁=C₁O₁=

2

，
∵D是AC的中點，
∴OO1=

2

2

，
∴C₁O=

3

2

2

．
（Ⅱ）當點F為AB的中點即

AF

FB

=1時，DF∥BC，∴DF⊥AC，
∵AA1⊥面ABC，
∴ED⊥DF，∠EDA即為二面角A-DF-E的平面角，
由AE=AD，因此∠EDA=

π

4

．
故二面角A-DF-E的大小為

π

4

時，

AF

FB

=1．

點評：本題考查點線面間的距離的計算，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．