Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，為函數(shù)在上的零點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，根據(jù)題意，得到，設(shè)，，對(duì)其求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法求出最大值，即可得出結(jié)果；

（2）先當(dāng)時(shí)，，得到，對(duì)求導(dǎo)，研究其在上的單調(diào)性，得到，，將化為，設(shè)，，對(duì)其求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，求得，即可證明結(jié)論成立.

（1）.

當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞減，

則在上恒成立，即.

設(shè)，，

則.

∵，所以.

∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.

∴，故.

（2）因?yàn)?/span>時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，故，

當(dāng)時(shí)，可知，

令，，所以

∴在上單調(diào)遞減.即在上單調(diào)遞減.

又，，

∴存在唯一的，使得，

∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

又，，，

∴函數(shù)在上的零點(diǎn)，

即，

要證，即證.

設(shè)，，

則.

顯然在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.

∴，故原不等式得證.