Question

【選修4-4：坐標系與參數方程】
（1）求點M（2，

π

3

）到直線ρ=

3

sinθ+cosθ

上點A的距離的最小值．
（2）求曲線C：

x=-1+cosθ y=sinθ

(θ為參數)關于直線y=1對稱的曲線的參數方程．

Answer 1

分析：（1）點M（2，

π

3

）化為直角坐標M(2cos

π

3

，2sin

π

3

)即M(1，

3

)．直線ρ=

3

sinθ+cosθ

即ρsinθ+ρcosθ=

3

，化為直角坐標方程x+y-

3

=0．則點M(1，

3

)到直線上的點A的距離的最小值為點M到直線的距離．
（2）設曲線C：

x=-1+cosθ y=sinθ

(θ為參數)關于直線y=1對稱的曲線上的點為P（x，y），則點P關于直線y=1的對稱點P′（x，2-y），此點在曲線C上，可得

x=-1+cosθ 2-y=sinθ

，即可．

解答：解：（1）點M（2，

π

3

）化為直角坐標M(2cos

π

3

，2sin

π

3

)即M(1，

3

)．
直線ρ=

3

sinθ+cosθ

即ρsinθ+ρcosθ=

3

，化為直角坐標方程x+y-

3

=0．
則點M(1，

3

)到直線上的點A的距離的最小值為d=

|1+ 3 - 3 |

2

=

2

2

．
∴點M（2，

π

3

）到直線ρ=

3

sinθ+cosθ

上點A的距離的最小值是

2

2

．
（2）設曲線C：

x=-1+cosθ y=sinθ

(θ為參數)關于直線y=1對稱的曲線上的點為P（x，y），
則點P關于直線y=1的對稱點P′（x，2-y），此點在曲線C上，
∴

x=-1+cosθ 2-y=sinθ

，化為

x=-1+cosθ y=2-sinθ

即為所求曲線C關于直線y=1對稱的曲線的參數方程．

點評：本題考查了把極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、曲線關于直線的對稱曲線、中點坐標公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．