Question

.(本小題滿分12分)
已知以函數f(x)＝mx³－x的圖象上一點N(1，n)為切點的切線傾斜角為.
(1)求m、n的值；
(2)是否存在最小的正整數k，使得不等式f(x)≤k－1995，對于x∈[－1,3]恒成立？若存在，求出最小的正整數k，否則請說明理由．

Answer 1

解：(1)f′(x)＝3mx²－1，
f′(1)＝tan＝1，
∴3m－1＝1，∴m＝.
從而由f(1)＝－1＝n，得n＝－，
∴m＝，n＝－.
(2)存在．
f′(x)＝2x²－1＝2(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0得x＝±.
在[－1,3]中，當x∈[－1，－]時，
f′(x)＞0，f(x)為增函數，
當x∈[－，]時，
f′(x)＜0，f(x)為減函數，
此時f(x)在x＝－時取得極大值．
當x∈[，3]時，
此時f′(x)＞0，f(x)為增函數，
比較f(－)，f(3)知f(x)_max＝f(3)＝15.
∴由f(x)≤k－1995，知15≤k－1995，
∴k≥2010，即存在最小的正整數k＝2010，
使不等式在x∈[－1,3]上恒成立．

略