Question

【題目】已知，在三棱柱中，，，，如圖.

（1）求證：平面；

（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）推導出四邊形是菱形，從而，由，，得，由此能證明平面．

（2）由，得平面，從而平面，設，分別以直線，為，軸，以過點且平行于的直線（過的中點）為軸，建立空間直角坐標系，由此能求出平面與平面所成銳二面角的余弦．

解：（1）∵，∴四邊形是菱形，∴.

∵，，∴.

∵和是平面內兩相交直線，

∴平面.

（2）∵，和是平面兩相交直線，

∴平面.∴平面.

設，分別以直線、為、軸，以過點且平行于的直線（過的中點）為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設，∵，

∴，，.

∴，.

設是平面的一個法向量，則，，

即，，∴.

不妨取，得.

由以上可知，平面平面，

設中點為，則且平面，.

∴.

所以平面與平面所成銳二面角的余弦為.