Question

【題目】如圖所示，在三棱錐中，平面，，，、分別為線段、上的點，且，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：(Ⅰ)由平面，證得，再由為等腰直角三角形，得到，即可利用線面垂直的判定定理，證得平面．

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，以為坐標(biāo)原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量為，又平面的法向量可取，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值．

試題解析：

(Ⅰ)證明：由平面，平面，故

由，得為等腰直角三角形，故

又，故平面．

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，為等腰直角三角形，

過作垂直于，易知又已知，故

以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則

則有，．

設(shè)平面的法向量為，則有

，可取；

因為平面，所以平面的法向量可取．

則．

而二面角為銳二面角，故其余弦值為．