【題目】如圖，已知橢圓
，
點(diǎn)是它的右端點(diǎn)，弦
過橢圓的中心
，
，
.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)
、
為圓上不重合的兩點(diǎn)，
的平分線總是垂直于
軸，且存在實(shí)數(shù)
，使得
，求的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）先求出
的值，再求出點(diǎn)
的坐標(biāo)，并將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，得出
的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）先由已知條件得出直線
和直線
的斜率互為相反數(shù)，可設(shè)直線的方程為
，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)
的坐標(biāo)，同理得出點(diǎn)
的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出實(shí)數(shù)
的表達(dá)式，再利用基本不等式可求出的最大值．
（1）依題意可知
，
，
.
又
，
，
是等腰直角三角形，
，
.又點(diǎn)在橢圓上，
，
，因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）如下圖所示：
對于橢圓上兩點(diǎn)、，
的平分線總是垂直于
軸，
與
所在直線關(guān)于直線
對稱.
設(shè)
，則
，
則直線的方程為
，①
直線的方程為
，②
將①代入
，得
.③
在橢圓上，
是方程③的一個根，
，
以
替換
，得到
.
，
，
易知
，
，
，
，則
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)
時，即當(dāng)
時，等號成立，
因此，實(shí)數(shù)的最大值為.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面多邊形
中，四邊形
是邊長為2的正方形，四邊形
為等腰梯形，
為
的中點(diǎn),
,現(xiàn)將梯形沿
折疊，使平面
平面.
（1）求證：
面
；
（2）求
與平面
成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在①
；②
；③
這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問題.
在
中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足________________，
，求的面積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2019年，中華人民共和國成立70周年，為了慶祝建國70周年，某中學(xué)在全校進(jìn)行了一次愛國主義知識競賽，共1000名學(xué)生參加，答對題數(shù)（共60題）分布如下表所示：
組別 |
|
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 10 | 185 | 265 | 400 | 115 | 25 |
答對題數(shù)
近似服從正態(tài)分布
，
為這1000人答對題數(shù)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）.
（1）估計答對題數(shù)在
內(nèi)的人數(shù)（精確到整數(shù)位）.
（2）學(xué)校為此次參加競賽的學(xué)生制定如下獎勵方案：每名同學(xué)可以獲得2次抽獎機(jī)會，每次抽獎所得獎品的價值與對應(yīng)的概率如下表所示.
獲得獎品的價值（單位：元） | 0 | 10 | 20 |
概率 |
|
|
|
用
（單位：元）表示學(xué)生甲參與抽獎所得獎品的價值，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附：若
，則
，
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（其中
）.
（1）當(dāng)
時，若函數(shù)
在
上單調(diào)遞減，求
的取值范圍；
（2）當(dāng)
，
時，
①求函數(shù)的極值；
②設(shè)函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)處的切線為
，求在
軸上的截距的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
．
（Ⅰ）若
在
內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)分別為
，
，證明：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某便利店計劃每天購進(jìn)某品牌鮮奶若干件，便利店每銷售一瓶鮮奶可獲利
元；若供大于求，剩余鮮奶全部退回，但每瓶鮮奶虧損
元；若供不應(yīng)求，則便利店可從外調(diào)劑，此時每瓶調(diào)劑品可獲利
元.
（1）若便利店一天購進(jìn)鮮奶
瓶，求當(dāng)天的利潤
（單位：元）關(guān)于當(dāng)天鮮奶需求量
（單位：瓶，
）的函數(shù)解析式；
（2）便利店記錄了
天該鮮奶的日需求量（單位：瓶，）整理得下表：
日需求量 |
|
|
|
|
|
|
頻數(shù) |
|
|
|
|
|
|
若便利店一天購進(jìn)瓶該鮮奶，以天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天利潤在區(qū)間
內(nèi)的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
（
）與圓
：
在第一象限相交于點(diǎn)
，橢圓的左、右焦點(diǎn)
，
都在圓上，且線段
為圓的直徑.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)
的動直線
與橢圓交于
，
兩點(diǎn)，
為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：
為定值，并求出這個定值.
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