Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中．橢圓的右焦點為F，右準線為l．
（1）求到點F和直線l的距離相等的點G的軌跡方程．
（2）過點F作直線交橢圓C于點A，B，又直線OA交l于點T，若，求線段AB的長；
（3）已知點M的坐標為（x，y），x≠0，直線OM交直線于點N，且和橢圓C的一個交點為點P，是否存在實數λ，使得，若存在，求出實數λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓方程確定點F的坐標和直線l的方程，利用到點F和直線l的距離相等，建立等式，化簡可得點G的軌跡方程；
（2）由若，可得A的坐標，從而可求線段AB的長；
（3）假設存在實數λ滿足題意，確定直線OM、ON的方程，表示出N，P的坐標，利用，即可求得結論．
解答：解：（1）由橢圓方程為
可得a²=2，b²=1，c=1，F（1，0），l：x=2．
設G（x，y），則由題意可知，
化簡得點G的軌跡方程為y²=-2x+3．…（4分）
（2）由題意可知x_A=x_F=c=1，
故將x_A=1代入，
可得，從而．   …（8分）
（3）假設存在實數λ滿足題意．
由已知得①②
橢圓C：③
由①②解得，．
由①③解得，．              …（12分）
∴，
．
∵
∴可得λ=1滿足題意．                                  …（16分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查軌跡方程的求解，考查向量知識的運用，屬于中檔題．