Question

已知長方體AC₁中，棱AB=BC=1，棱BB₁=2，連接B₁C，過B點作B₁C的垂線交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求證：A₁C⊥平面EBD；
（2）求點A到平面A₁B₁C的距離．

Answer 1

分析：（1）根據三垂線定理證線線垂直，再由線線垂直證明線面垂直；
（2）利用線面平行，將A到平面的距離轉化為B到平面的距離，再利用三棱錐的換底性求高即可．

解答：解：（1）證明：∵長方體A₁C，∴A₁B₁⊥平面BC₁，B₁C為A₁C在平面BC₁上的射影，
∵BE⊥B₁C，由三垂線定理得，A₁C⊥BE，
同理A₁C⊥BD
∵BE∩BD=B，∴A₁C⊥面BDE．
（2）∵AB∥面A₁B₁C，∴點A到面A₁B₁C的距離即為點B到面A₁B₁C的距離，設為d
∵VA1-B1BC=VB-A1B1C，∴

1

3

×

1

2

×2×1×1=

1

3

×

1

2

×

5

×1×d，
∴d=

2 5

5

，
∴點A到平面A₁B₁C的距離為

2 5

5

．

點評：本題考查線面垂直的判定及點到平面的距離．利用轉化思想與三棱錐的換底性求點到平面的距離是常用方法．