Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若對任意，都有恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時， 在為增函數， 在為減函數；當時, 在為增函數，在為減函數；（2）.

【解析】試題分析：（1）先求出函數導數，根據導函數符號的判定來下結論，因為此時導函數分子帶參數無法確定符號，故進行討論，通常根據參數大于0，等于0，小于0一一討論定號即可得出單調性，但要注意定義域的限制；（2）恒成立問題通常轉化最值問題求解，求參數取值范圍我們一般會優先考慮參數分離形成新函數求最值，本題即可在上恒成立， 即在上恒成立。，接下來分析函數 在上的最大值即可得出結論

解析：（1）由題知： ,

當m≤0時， >0在x∈(0，＋∞)時恒成立,

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數.

當m>0時, ,

令f′(x)>0，則 ；令f′(x)<0, 則.

∴f(x)在為增函數，f(x)在為減函數.

(2)法一：由題知： 在上恒成立，

即在上恒成立。

令，所以

令g′(x)>0，則；令g′(x)<0，則.

∴g(x)在上單調遞增，在上單調遞減.

∴ ,∴.

法二：要使f(x) ≤0恒成立，只需,

（1）當m≤0時，f(x)在[1,e]上單調遞增，所以 ,

即，這與m≤0矛盾，此時不成立.

（2）當m>0時,

① 若即時，f(x)在[1，e]上單調遞增，

所以，即， 這與矛盾，此時不成立.

②若1< 即時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減 .

所以即,

解得 ，又因為，所以 ,

③ 即m 2時，f(x)在 遞減，則,

∴ 又因為，所以m 2,綜上 .