Question

【題目】如圖三棱柱中，側面為菱形， ．

（1）證明： ；

（2）若， ，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）連接，交于點，連接，可證平面，可得， ，進而可得；（2）以為坐標原點， 的方向為軸正方向， 為單位長，建立空間直角坐標系，分別可得兩平面的法向量，可得所求余弦值.

試題解析：（1）連接，交于點，連接，因為側面為菱形，所以，且為及的中點，又，所以平面．由于平面，故，又，故 ．

（2）因為，且為的中點，所以．

又因為，所以，故，從而兩兩相互垂直， 為坐標原點， 的方向為軸正方向， 為單位長，建立空間直角坐標系（圖略）

因為，所以為等邊三角形，又，則， ． ， ，設是平面的法向量，則

，即，設是平面的法向量，則，同理可取．

所以可取， ，

所以二面角的余弦值為．