Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，其余棱長均為是棱上的一點，分別為棱的中點．

（1）求證: 平面平面；

（2）若平面，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】分析：（1）先證明PE ⊥平面ABC，再證明平面平面.(2) 連接CD交AE于O，連接OM，先證明PD∥OM，再利用相似求出的長．

詳解：（1）證明：如圖，連結PE．

因為△PBC的邊長為2的正三角形，E為BC中點，

所以PE⊥BC，

且PE＝，同理AE＝．

因為PA＝，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．

因為PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC 平面ABC，

所以PE ⊥平面ABC．

因為PE平面PBC，

所以平面PBC⊥平面ABC．

（2）如圖，連接CD交AE于O，連接OM．

因為PD∥平面AEM，PD平面PDC，平面AEM∩平面PDC＝OM，

所以PD∥OM， 所以．

因為D，E分別為AB，BC的中點，CD∩AE＝O，

所以O為ABC重心，所以，

所以PM＝PC＝．