Question

【題目】已知數列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an﹣1+3an﹣2 ， （n≥3） （Ⅰ）證明數列{an﹣3an﹣1}成等比數列，并求數{an}列的通項公式an；
（Ⅱ）若數列bn= （an+1+an），求數列{bn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵an=2an﹣1+3an﹣2（n≥3）， ∴an+an﹣1=3（an﹣1+an﹣2），
又∵a2+a1=2+5=7，
∴數列{an+1+an}是以7為首項、3為公比的等比數列，
∴an+1+an=73n﹣1；
∵an=2an﹣1+3an﹣2（n≥3），
∴an﹣3an﹣1=﹣（an﹣1﹣3an﹣2），
又∵a2﹣3a1=2﹣35=﹣13，
∴數列{an+1﹣3an}是以﹣13為首項、﹣1為公比的等比數列，
∴an+1﹣3an=﹣13（﹣1）n﹣1；
∴an= ×（﹣1）n﹣1+ ×3n﹣1 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得an+1+an=73n﹣1 ，
∴bn= （an+1+an）=（2n﹣1）×3n﹣1 ，
∴Sn=1×30+3×31+5×32+…+（2n﹣1）×3n﹣1 ，
∴3Sn=1×31+3×32+5×33+…+（2n﹣3）×3n﹣1+（2n﹣1）×3n ，
∴﹣2Sn=1+2（31+32+33+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）×3n=1+2× ﹣（2n﹣1）×3n=﹣2﹣（2n﹣2）3n ，
∴Sn=（n﹣1）3n+1
【解析】（Ⅰ）通過an=2an﹣1+3an﹣2（n≥3）變形為an+λan﹣1=m（an﹣1+λan﹣2）形式計算可求．（Ⅱ）bn= （an+1+an）=（2n﹣1）×3n﹣1 ， 再利用錯位相減法即可求出數列{bn}的前n項和Sn ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．