Question

【題目】AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于AB的動點，過動點C的直線VC垂直于圓O所在平面，D，E分別是VA，VC的中點.

（1）判斷直線DE與平面VBC的位置關系，并說明理由；

（2）當△VAB為邊長為的正三角形時，求四面體V﹣DEB的體積.

Answer 1

【答案】（1）⊥平面，理由見解析（2）

【解析】

（1）由已知可得AC⊥BC，AC⊥VC，可證AC⊥平面VBC，D，E分別是VA，VC的中點，有DE∥AC，即可證明結論；

（2）由已知可證△VBC≌△VAC，得到BC=AC，進而求出BC，AC，VC值，利用等體積法有，即可求解.

（1）DE⊥平面VBC，證明如下:

∵AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于AB的動點，

∴AC⊥BC，∵過動點C的直線VC垂直于圓O所在平面，

AC平面ABC，∴AC⊥VC，∵BC∩VC=C，

∴AC⊥平面VBC，∵D，E分別是VA，VC的中點，

∴DE∥AC，∴DE⊥平面VBC.

（2）∵△VAB為邊長為的正三角形，

AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于AB的動點，

過動點C的直線VC垂直于圓O所在平面，

D，E分別是VA，VC的中點，∴△VBC≌△VAC，∴BC=AC，∴BC2+AC2=AB2=8.∴AC=BC=2，

D，E分別是VA，VC的中點，∴DE==1，

∴四面體V﹣DEB的體積為:

=.