Question

【題目】如圖所示的多面體中，底面為正方形，為等邊三角形，平面，，點是線段上除兩端點外的一點.

（1）若點為線段的中點，證明：平面；

（2）若二面角的余弦值為，試通過計算說明點的位置.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）為線段的中點，詳見解析

【解析】

（1）通過證明，即可得證；

（2）建立空間直角坐標系，利用法向量解決二面角相關探索問題.

（1）因為是等邊三角形，點為線段的中點，

故

因為，

且，故平面

又平面，

故

又，

故平面.

取的中點，以所在直線為軸，過點作平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，則

故

設

故

又

故，

設為平面的法向量，

則

故

令，故

故為平面的一個法向量.

由可知，為平面的一個法向量，

故，

即，令

則

，

解得，經檢驗知，

此時點為線段的中點