Question

【題目】已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：（）過點(diǎn)，其上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為，，且.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）直線交橢圓于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），，試判定直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直線過定點(diǎn).

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意得到，之間的關(guān)系式，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)，即可求解；

（Ⅱ）先設(shè)出直線的方程，分類討論，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，分別利用斜率公式化簡(jiǎn)求值進(jìn)行計(jì)算，得出直線的方程，即可得解.

（1）因?yàn)闄E圓：（）過點(diǎn)，所以.①

又因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)?/span>，所以.②

把②代入①中，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）直線過定點(diǎn).

理由如下：當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，設(shè)的方程為，

點(diǎn)，，.

因?yàn)?/span>，

所以，此時(shí)直線過橢圓的右頂點(diǎn)，

與已知直線交橢圓于，兩點(diǎn)矛盾；

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，點(diǎn)，.

聯(lián)立得，

則.

由韋達(dá)定理得，.

所以

.

又因?yàn)?/span>，所以，，所以存在，使成立.

此時(shí)直線的方程為，即，所以直線過定點(diǎn).