Question

（2012•寧城縣模擬）已知函數f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數的底數）處的切線斜率為3．
（1）求實數a的值；
（2）證明：當x＞1時，

f(x)

x-1

＞3恒成立．

Answer 1

分析：（1）求導數，利用函數f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數的底數）處的切線斜率為3，可得f′（e）=3，從而可求實數a的值；
（2）構造g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，求導函數可得g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，令h（x）=x-lnx-2（x＞1），確定h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實根x₀，且滿足x₀∈（3，4），進而可得g(x)=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上單調遞減，在（x₀，+∞）上單調遞增，求出最小值，即可得證．

解答：（1）解：求導數可得f′（x）=a+lnx+1
∵函數f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數的底數）處的切線斜率為3
∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，-----------------------（3分）
（2）證明：由（1）知，f（x）=x+xlnx，
令g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，則g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，-----------------------（5分）
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），則h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，
所以函數h（x）在（1，+∞）上單調遞增．…（7分）
因為h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實根x₀，且滿足x₀∈（3，4）．
當1＜x＜x₀時，h（x）＜0，即g'（x）＜0，
當x＞x₀時，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（9分）
所以函數g(x)=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上單調遞減，在（x₀，+∞）上單調遞增．
所以[g(x)]min=g(x0)=

x0(1+lnx0)

x0-1

=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x0．
因為x₀＞3，所以x＞1時，

f(x)

x-1

＞3恒成立     …（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，解題時構造函數是關鍵．