Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為，直線l的方程為：

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知直線l與橢圓相交于、兩點

①若線段中點的橫坐標為，求斜率的值；

②已知點，求證：為定值

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1），（2）定值為

【解析】

試題(1)橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形,可以看作是以長為底邊，高為的等腰三角形，故面積為，從而可以列出等式，又由離心率得及，可解出，從而求出橢圓的方程 （2）直線和橢圓相交，其方程聯立方程組，消去，可得關于的二次方程，利用韋達定理可得，這就是相交弦的中點的橫坐標，從而求出，把用坐標表示出來，借助（1）中的二次方程得出的代入，就可證明出定值

試題解析：（Ⅰ）因為滿足，， 2分

，解得，，

則橢圓方程為.

（Ⅱ）（1）設，將代入并化簡得

，

則是上述方程的解

，

因為的中點的橫坐標為，所以，解得.

（2）由（1），，

，為定值